Lie Cebiroidler

Lie cebiroidler, 1967’de Pradines tarafından Lie grupoidlerin sonsuz küçük versiyonları olarak tanıtıldı. Lie’nin üçüncü teoremi, her sonlu boyutlu Lie cebirinin bir integrali kabul ettiğini belirtir. Daha açık bir ifade ile her sonlu Lie Cebir’e karşılık bir tek bağlantılı, basit bağlantılı bir Lie grup karşılık gelmektedir. Lie cebiroidler için benzer bir integrallenebilme teoreminin varlığı, Pradines tarafından Lie cebiroidlerin tanımlandığı zamandan beri araştırma problemi olmaktadır. Böylece aşağıdaki sorunun cevabı aranmaktadır. Bir Lie cebiroide karşılık gelen sonsuz küçükler kümesi ne olmaktadır. Lie cebir ve Lie grup arasındaki ilişki, Lie cebiroidler teorisinde Lie grupoid kavramı ile kurulmaktadır. Lie gruplarda olduğu gibi, bir Lie grupoid verildiğinde her zaman bir Lie cebiroid inşa edilmektedir. Ancak tersi doğru olmamaktadır. Yani bir Lie cebiroid verildiğinde buna karşılık bir Lie grupoid gelmeyebilir. Bu problem Lie cebiroidlerde integrallenebilme teoremi olarak adlandırılmaktadır. Crainic ve Fernandes 2003 yılında yayınladıkları makalelerinde bir Lie cebiroidin integrallenebilme şartlarını belirli Lie cebirlerin yarı-basit veya homotopi gruplarının özelliklerine bağlı olarak elde ettiler. Lie cebiroid kavramı, Lie cebir, Poisson manifold, tanjant demet ve distribüsyon gibi bir çok geometrik kavramın genelleştirilmişi olduğundan bu kavramın incelenmesi geometrik açıdan daha geniş bir uzay üzerinde çalışma imkanı vermekte ve Lie cebir, tanjant demet ve distribüsyon kavramları ile ilgili teoremleri ve sonuçları genelleştirmeyi mümkün kılmaktadır.